[VIDEO] Intregral de una funcion vectorial

Ejemplos de Aplicación para Elasticidad

EJEMPLO 2:
Encontrar el trabajo realizado al bombear agua hasta el borde superior de u depósito, que es de 50 pies de largo y tiene extremos semicirculares de radio = 10 pies, si el depósito está lleno hasta una profundidad de 7 pies.

Colocamos un extremo del tanque en un sistema de coordenadas, como se muestra en la última figura. Una rebanada horizontal representativa se muestra en ambas figuras de éste ejemplo; esta rebanada es aproximadamente una caja delgada, de modo que calculamos su volumen multiplicando su largo, ancho y grosor, su peso es su densidad, P = 62.4, por su volumen. Finalmente, notamos que la rebanada debe elevarse una distancia de –y (el signo menos es porque en la figura y es negativa).

Ejemplos de Aplicación en Elasticidad

EJEMPLO 1:
Si la longitud natural de un resorte es 0.2 metros y si es necesaria una fuerza de 12 newtons para mantenerlo estirado 0.04 metros, encuentre el trabajo hecho al estirar el resorte de su longitud natural a una longitud de 0.3 metros
Solución:
Por la ley de Hook antes mencionada, la fuerza requerida para mantener el resorte estirado x pulgadas está dada por F(x)= kx. Para evaluar la constante del resorte, k, para este resorte en particular, observamos que F(0.04) = 12, por lo que k · 0.04 = 12 o bien, k = 300, de modo que: F(x) = 300x.
Note que cuando el resorte tiene su longitud natural de 0.2 metros, x = 0, cuando tiene una longitud de 0.3 metros, x = 0.1, por tanto, el trabajo hecho al estirar el resorte esta dado por:

Aplicación a bombeo de un líquido: Para bombear agua de un tanque se requiere trabajo, para conocer esa cantidad de trabajo debemos tomar en cuenta los mismos principios básicos que tomamos con integración.

MÁS APLICACIONES DE LAS FAMOSAS INTEGRALES EN LA INGENIERIA MECÁNICA

Una aplicación importante de la integral, la tenemos en el uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Ahora veremos los sólidos de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción como lo son en procesos de mecanizado, tales como el torneado en donde se usa mucho el concepto de volumen por revolución

Elasticidad:
ropiedad de cambiar de forma cuando actúa una fuerza de deformación sobre un objeto, y el objeto regresa a su forma original cuando cesa la deformación.
Los materiales no deformables se les llama inelásticos (arcilla, plastilina) y masa de repostería). El plomo también es inelástico, porque se deforma con facilidad de manera permanente.
Si se estira o se comprime más allá de cierta cantidad, ya no regresa a su estado original, y permanece deformado, a esto se le llama límite elástico.

Ejemplo de Integral para Integración Vectorial

Teorema fundamental

Integral de superficie de un campo vectorial

En esta lección definiremos el concepto de flujo de un campo vectorial.
Imaginemos el siguiente campo vectorial, dado por una ecuación F(x). Supongamos además que el campo vectorial representa las velocidades en un fluido

Figura 1

Imaginemos adicionalmente que colocamos una superficie orientada arbitrariamente (ver Figura 2) y nos preguntamos por la cantidad de fluido que la atravesaría en un tiempo (t).

Está claro que la cantidad depende de la orientación de la superficie; si la superficie está orientada de forma paralela al campo, ni una sola gota de fluido podría atravesarla. En cambio, si la orientación es perpendicular al flujo, éste será máximo.



La integral de superficie de un campo vectorial.
Sea F un campo vectorial definido sobre S, la imagen de una superficie parametrizada S. La integral de superficie F sobre S es:

Aplicaciones de las Integrales Múltiples en Ingeniería Civil (Vigas)

Aplicaciones Matemáticas de las Integrales Dobles (Centro de masa)

Centro de Masa

Aplicaciones de las Integrales Dobles

Radio y Rotación
Su concepto implica al punto en el que la masa se concentra sin que los momentos respecto de los ejes cambien. Su nomenclatura obedece al orden del momento involucrado, su cálculo se hace en consideración del momento cruzado al eje respectivo




Otras Aplicaciones
El área de una región plana R en el plano (x, y) viene dada por una integral doble.


El volumen V encerrado entre una superficie


El centro de gravedad de la masa de un trozo plano R anterior tiene coordenadas

Los momentos de inercia
Ix e Iy de la masa de R con respecto a los ejes x e y

Aplicaciones de las Integrales Dobles

Densidad y masa
Conociendo las integrales dobles, podemos considerar una lámina con densidad variable. Supongamos que la lámina ocupa una región D del plano xy y su densidad (en unidades de masa por área unitaria) en un punto (x,y) en D está dada por ρ(x,y), donde ρ es una función continua en D.


Donde Delta m y Delta A son la masa y el área de un pequeño rectángulo que contiene a (x,y), y el límite se toma cuando las dimensiones del rectángulo se aproximan a 0. Para hallara la masa total m de la lámina, dividimos el rectángulo R que contiene a D, en sub-rectángulos Rij del mismo tamaño y consideramos que ρ(x,y) es 0 fuera de D. Si escogemos un punto (x*ij,y*ij) de Rij, entonces la masa de la parte de la lámina que ocupa Rij es aproximadamente ρ(x*ij,y*ij )\Delta A, donde \Delta A es el área de R(x*ij,y*ij.


Los físicos también consideran otros tipos de densidad que se pueden tratar en la misma manera. Por ejemplo, si una carga eléctrica se distribuye sobre una región D y la densidad de carga (en unidades de carga por área unitaria) está dada por σ(x,y) en un punto (x,y) en D, entonces la carga total Q está dada por

Ejemplos de Campos Vectoriales

Gravedad

Un ejemplo de campo vectorial en

surge de la ley de atracción gravitatoria de Newton.
Esta ley establece que la atraccin gravitacional entre dos partculas de masa (M1 y M2) establece que

integración de Campos Vectoriales

Sabemos de la importancia que tienen los conceptos de campos vectoriales (campos de velocidades, gravitatorios, eléctricos, magnéticos, etc.). Como as también, los conceptos de trabajo, circulación, divergencia, rotor y flujo de un campo vectorial o flujo del rotor de un campo vectorial, dada la necesidad de ellos por sus múltiples aplicaciones. Para trabajar esta temática, se deben tener un muy buen manejo de Integrales múltiples, de Línea y de Superficie.
La conección de estos tipos de integrales es por medio de los teoremas integrales o formas integrales de Gauss y Stokes, dado que el Teorema de Green (sí el mismo que mencione antes que ayudaba tanto a los antiguos) es una consecuencia de estos en el plano.

Campo Vectorial

Campo vectorial en 2D F(x, y) = (-y, x)
Se recuerda la definición de campo vectorial. " Una función que asigna un vector a cada punto en alguna región en el plano, o el espacio, se llama campo vectorial, usualmente se denota por F ".

Cada punto del plano (x,y) tiene asignado un vector de coordenadas (-y,x). En este caso se observa que los vectores describen circunferencias centradas en el origen de radio constante. Se obtienen los vectores de longitud c calculando la norma de F o sea c^2 = x^2+y^2 ecuación de circunferencias concéntricos. Es un campo similar al campo de velocidad determinado por una rueda que gira en el origen.


El campo vectorial en 3D F(x, y, z) = (-y, x, 0) ?.

Aplicaciones Matemáticamente Representadas mediante una Integral de Función Vectorial

Longitud de Arco
Integral de una superficie plana
La Curva
Áreas
Integrales Múltiples

Ejemplos para que resuelvas respecto a la Integración de Funciones Vectoriales

Aplicaciones de las Derivadas Vectoriales en Electricidad y los Campos Magnéticos

Para determinar completamente una función vectorial necesitamos calcular tanto su rotacional como su divergencia, además de las condiciones de contorno. Por ello las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell) se expresan en términos de la divergencia y el rotacional de los campos eléctrico y magnético.
Empezaremos calculando la divergencia del campo magnético a través de la ley de Biot-Savart:

y de esto se obtiene que constituye una de las leyes generales del Electromagnetismo que establece que el campo de inducción magnética es solenoidal, es decir tiene divergencia nula en todos los puntos.


EN EL CÁLCULO DE MOVIMIENTO DE UNA PROYECTIL
Cuando se lanza un objeto en presencia solamente de un campo gravitatorio, como el de la tierra, se observa que dicho objeto se eleva, alcanza una determinada altura y cae. Las ecuaciones vectoriales que describen este tipo de movimientos son:

Derivadas de una función Vectorial

Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primera derivada no es nula, decimos que se trata de una curva regular. Al vector 𝐹 (𝑡) se le llama vector de posición de la curva y a los vectores 𝐹 ′(𝑡) y 𝐹 ′′(𝑡) se les llama, respectivamente, vectores velocidad y aceleración. De modo que la rapidez en un instante t es|𝐹′(𝑡)| , es importante observar que la rapidez es un escalar, mientras que la velocidad un vector. Al vector 𝐹 ′(𝑡) también se le llama vector tangente a la curva 𝐹 (𝑡) en t, y el vector

Límites y Continuidad

Funciones Vectoriales

Quisiera aclarar mas sobre las Funciones Vectoriales, este es el post de unos amigos que se han dedicado a este tema donde os exponen dicho tema.
Visitenlos y regálenles un like ;)

Funciones Vectoriales

Titulo

Problemas Resueltos sobre Gradiente

Aplicación para nuestra prevención y bienestar

PREVENCION DE TEMBLORES

UN CAMPO DONDE SE APLICAN LAS FUNCIONES VECTORIALES ES EN LA MEDICIÓN DE LAS ESCALAS DE IMPACTO DEL MOVIMIENTO DE LAS PLACAS TECTÓNICAS ES DECIR DE LOS TEMBLORES

SI SE ANALIZARA MAS A FONDO LOS MOVIMIENTO DE LAS PLACAS TECTÓNICAS Y SE IDENTIFICARAN LO EPICENTROS SERA MAS FÁCIL Y MAS ÚTIL EL HECHO DE ANALIZAR ESTOS SISMOS

Aplicaciones de las Matrices

Una vez que ya conocemos a fondo las matrices, puesto que hemos visto los distintos tipos que hay y las operaciones que podemos realizar con ellas. Vamos a ver sus aplicaciones, ya que las matrices son una herramienta muy útil no sólo en el campo de las matemáticas y la física como era de esperar; sino también en el campo de las ciencias sociales, por ejemplo en economía y en geografía. Esta gran utilidad se debe a que las matrices aportan un nuevo lenguaje facilitando el trabajo en una gran cantidad de ámbito

Álgebra lineal:
1. En esta rama destaca la utilidad en la resolución de sistemas de ecuaciones de la forma AX = B, mediante el cálculo de la matriz inversa:
2. Estudio de las aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales mediante la matriz asociada, que nos permite calcular el núcleo y la imagen.

Geometría:
1. Para expresar la ecuación de un giro de ángulo α alrededor del eje

2. Para representar las ecuaciones de las formas cuadráticas. Haciendo el estudio de la matriz correspondiente podemos clasificar la cuadrática en definida positiva, semidefinida positiva, definida negativa o semidefinida negativa. La matriz asociada a la forma cuadrática siempre es una matriz simétrica.

En la rama del análisis se utilizan las matrices jacobianas, que se usan para expresar las derivadas parciales de una función en varias variables:
Si f(x,y,z) está definida de la siguiente forma:

La aplicación más importante en este campo son las transformaciones de Lorenz, que dan las ecuaciones del movimiento de un punto en línea recta y sobre el plano conocida la velocidad de la luz.
Por ejemplo: suponiendo que el punto se desplaza sobre el eje OX y que estamos en un espacio tetradimensional, donde la cuarta dimensión es el tiempo, entonces, el punto tendrá como coordenadas inciales (x,y,z,t) y como finales (x’,y’,z’,t’). Las ecuaciones que dan esta transformación son:

Donde c representa la velocidad de la luz

Dato Adicional (Todo Sobre Matrices 😍)

Aplicación en la Ingeniería

Como sabemos los vectores son muy utilizados para representar tanto fuerzas como movimientos.
Además, también es muy utilizado para resolver sistemas de ecuaciones. Cualquier problema medianamente complejo de ingeniería puede convertirse a un sistema de ecuaciones, que mediante cálculo matricial que está relacionado con el cálculo vectorial, puede resolverse.

Dentro de la ingeniería mecánica podemos notar que el cálculo vectorial se usa mucho en problemas de dinámica y cinemática de mecanismos. Es decir, para analizar el movimiento (como por ejemplo las velocidades, aceleraciones, etc.) de cada uno de los elementos que forman cualquier tipo de mecanismo se puede ver desde la suspensión de un automóvil como hasta el complejo brazo de un robot.
Una justificación o demostración para esto se centra más en los mecanismos que son como conjuntos de cuerpos o piezas móviles interconectadas entre sí, y sus movimientos y fuerzas, son representadas mediante vectores, que deben relacionarse entre sí mediante operaciones relacionadas y estas están conectadas gracias a el cálculo vectorial.
El cálculo vectorial también es muy utilizado en el cálculo de estructuras de edificios y estructuras Ingeniería Civil
El cálculo vectorial es fundamental para la ingeniería todas las ingenierías pero especialmente en la rama de ingeniería mecánica y eléctrica.

:)

Resumen sobre Divergencia De Campos Vectoriales

Aplicaciones de las Integrales Vectoriales

La mayor parte de la física es vectorial desde el momento que el desplazamiento, la mayor parte de magnitudes derivadas de él los son: velocidad, aceleración, fuerzas... De esta forma mediante vectores podemos explicar:
CINEMÁTICA
Simplemente conociendo movimientos de una sola dirección y haciendo combinaciones de ellos mediante vectores, podemos entender movimientos en dos y tres dimensiones como el tiro parabólico, fácilmente entendible haciendo una composición de movimientos en dos dimensiones mediante vectores

DINÁMICA
Las fuerzas son vectoriales, de forma que la acción de un conjunto de fuerzas sobre un cuerpo, no sólo va a depender del valor de las mismas, sino también de su punto de aplicación ( una puerta se moverá de forma diferente si aplicas una fuerza cerca o lejos de su eje), dirección y sentido. Es decir hay que tener en cuenta el carácter vectorial de las fuerzas para poder saber el efecto que tendrán.

ESTÁTICA
Al igual que en estática gracias a los vectores podemos determinar resistencias de materiales asociados a algún proyecto en sus medidas adecuadas para garantizar alguna(s) característica(s) específica(s) que le deseamos conferir

CAMPOS
Leer detenidamente la lectura complementaria sobre los campos orbitales en la parte inferior
Tanto el campo gravitatorio, como el eléctrico como el magnético tienen también carácter vectorial, con lo que la acción de varias cargas sobre otras, no sólo dependerá del valor de ellas, sino de cómo están colocadas respectivamente, lo que conlleva a considerar las direcciones entre ellas ( carácter vectorial)

ELECTRICIDAD
Gran parte del desarrollo matemático con señales eléctricas se hace con fasores y notación compleja. A efectos matemáticos un número complejo puede tratarse como un vector de dos dimensiones.


LECTURA COMPLEMENTARIA SOBRE LA IMPORTANCIA DEL CÁLCULO DE LOS CAMPOS ORBITALES Y GRAVITACIONALES PARA LOS ANTIGUOS.
COMO DATO CURIOSO Y CAPCIOSO ESTA EL HECHO DE QUE A TRAVÉS DE LOS AÑOS EL SER HUMANO A TRATADO DE ANALIZAR LA CREACIÓN DE NUESTRO PLANETA Y NO TAN SOLO DE NUESTRO PLANETA SINO TAMBIÉN DE NUESTRO SISTEMA SOLAR;ES POR ESO QUE LOS FÍSICOS DE TODAS LAS ÉPOCAS HAN HECHO HASTA LO IMPOSIBLE POR TRATAR DE DESCIFRAR LOS SECRETOS QUE ESCONDE EL SISTEMA SOLAR.UN TEMA MUY SINGULAR DEL CUAL SE TIENE MAS CONOCIMIENTO POR LAS GRANDES APORTACIONES DE LOS FÍSICOS ES LA MEDIDA DE LAS DISTANCIAS ENTRE LOS PLANETAS, DE SUS ANILLOS EN ALGUNOS CASOS SINGULARES, LA MEDIDA DE SUS ÓRBITAS; ENTRE MUCHOS TEMAS INTERESANTES; Y A PESAR DE LA BASTA INFORMACIÓN CON LA QUE SE CUENTA EN LA ACTUALIDAD SOBRE ESTOS TEMAS LOS FÍSICOS Y LOS MATEMÁTICOS SE HAN ALIADO PARA SABER CON EXACTITUD LAS MEDIDAS DE ESTAS... Desde aquí podemos tener una idea el impacto de las cantidades vectoriales a lo largo del curso del tiempo para nuestra dimensión Tridimensional valga la redundancia.
PARA ESTE FIN LAS FUNCIONES VECTORIALES Y SUS DERIVADAS SON Y SERÁN INDISPENSABLES, PARA LE MEDICIÓN DE LAS ÓRBITAS GRAVITACIONALES, YA QUE SI ESTAS NO SE MIDIERAN Y SE ALTERARON EN ALGUN GRADO N LOS PLANETAS LLEGARÍAN A UN PUNTO EN EL QUE COLISIONARÍAN, DEBIDO A LA ATRACCIÓN DE LOS CAMPOS GRAVITACIONALES.


PARA EL CALCULO DE TRAYECTORIAS O DEL RECORRIDO DE LAS ÓRBITAS SE APLICAN UNA SERIE DE TEOREMAS:
Independencia De La Trayectoria
A una curva regular parte por parte con extremos A y B se le llama a veces trayectoria de A a B. a continuación se class=”hiddenSpellError” pre=”se “>obtienen condiciones bajo las cuales una integral de línea es independiente de la trayectoria en una región, en el sentido de que si A y B son puntos arbitrarios, entonces se obtiene el mismo valor para todas las trayectorias de A a B en esa región. Los resultados se demostrarán para integrales de línea en dos dimensiones. Las demostraciones para el caso de tres dimensiones son similares y se omiten.
Si la integral de línea ∫c f (x, y) ds es independiente de la trayectoria, se denota a veces por ∫BA f (x, y)ds porque el valor de la integral depende sólo de los extremos A y B de la curva C. una anotación similar se usa para ∫c f (x, y)dx y ∫c f (x, y)dy y para las integrales de línea en tres dimensiones.


Teorema De Green
∫ f ’(x) dx = f(b) – f (a) 🙌 EH AQUÍ LAS INTEGRALES!
Dice que la integral de una función sobre un conjunto S = [a, b] es igual a una función relacionada (la antiderivada) evaluada de cierta manera sobre la frontera de S, en este caso consta sólo de dos puntos, a y b.

Visualización Espacial de Fenómenos-Campos Vectoriales

Integrales, Análisis Matemático

Graficar Vectores en 3D

Más detalles...

Integración de Funciones Vectoriales

Una función vectorial es una función definida en términos de la variable tiempo. El rango de esta función es multidimensional dado que la función está constituida por diversos componentes, donde cada uno de los componentes varía con respecto al tiempo en una de las direcciones. Por lo tanto, de manera informal una función vectorial puede denotarse como:

Cada una de las funciones individuales es una función vectorial de variable real en sí misma. Las dimensiones de entrada y salida de una función vectorial son iguales, las cuales son un vector con alguna forma determinada.

La integración de la función vectorial se valora así:

La Integración Definida puede darse de la misma manera, sumándole la evaluación indicada o deseada.



El Teorema Fundamental del Cálculo también se ha modificado para una función valorada vectorial la cual establece que, sean F y f dos funciones diferentes que se trazan con el rango multidimensional Rk para un intervalo cerrado [a, b] también la derivada de F es equivalente a f:

👌

Integrales inmediatas e indefinidas

Métodos de Integración

Existen dos formas de integración, las definida y la indefinida; al igual existen algunas métodos descubiertos hasta el momento de creación de este blog, las cuales son:

- Método de Integración por Partes

- Método de Integración Sencilla, Simples o Inmediatas

- Integrales Trigonométricas

- lIntegrales Trigonométricas Inversas

- Integración mediante Fracciones Parciales

- Intergración mediante el uso de tablas

¿Qué es una Función Vectorial?

Una función Vectorial es una regla de transformación tal que a cada punto de un dominio le corresponde un vector.